MÉTODOS NUMÉRICOS

                                                                                                        Sílabo 2018-I

1.1       INTRODUCCIÓN

Los Métodos Numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular modelos matemáticos de los problemas de tal manera que puedan resolverse utilizando operaciones aritméticas.    Existen muchos tipos de métodos de métodos numéricos pero su característica principal es el gran número de tediosos cálculos aritméticos.

Antiguamente los ingenieros disponían de tres métodos de solución de problemas:

1-                 Métodos analíticos. Muy útiles para la comprensión del comportamiento de los sistemas. Incluyen problemas lineales y de geometría simple con escasas dimensiones. Su limitación es que la mayoría de los problemas reales son no lineales e implican formas y procesos complejos.

2-                 Método gráfico. No son muy precisos y son representaciones tediosas y difíciles de implementar. Se limitan a tres dimensiones o menos.

3-                  Métodos numéricos. Implementados con calculadoras y reglas de cálculo. Su cálculo manual es lento y tedioso. De resultados no consistentes debido a que surgen equivocaciones ante numerosos cálculos.

Con la implementación de la computadora se eliminó el problema de cálculo y se ha logrado dar más importancia a la formulación de un problema y a la interpretación de la solución.

RAZONES DE USO DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA:

1.                  Son herramientas muy poderosas para la solución de problemas. Son capaces de manipular sistemas de ecuaciones grandes, manejar no linealidades y resolver geometrías no complicadas.

2.                  El uso eficiente de programas “enlatados” depende del buen entendimiento de la teoría básica en que se basan tales métodos.

3.                  El conocimiento de los métodos numéricos y la programación en computadora da la capacidad de diseñar sus propios programas para resolver los problemas, sin tener que comprar software costoso.

4.                  Son un vehículo eficiente para aprender a servirse de las computadoras. Permitirá reconocer y controlar los errores de aproximación.

5.                  Son un medio para reforzar la comprensión de las matemáticas. Convierte las matemáticas superiores en  operaciones aritméticas básicas.

Los Métodos numéricos se utilizan para:

1.                  Determinar raíces de ecuaciones. Se relacionan con el valor de una variable o de un parámetro que satisface una ecuación no lineal simple. Son útiles cuando resulta imposible despejar de manera analítica los parámetros de las ecuaciones de diseño.

2.                  Resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales. Se busca un conjunto de valores que satisfaga simultáneamente un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales.

3.                  Optimizar. Se trata de determinar el valor o los valores de una variable independiente que corresponden al “mejor” o al valor óptimo (máximo o mínimo) de la función. (ej. la programación  lineal.)

4.                  Ajustar curvas. Considera el ajuste de curvas a un conjunto de datos mediante dos técnicas:

Regresión (utilizada cuando hay un significativo grado de error asociado con los datos como es le caso de los datos experimentales, para lo cual se trata de encontrar una curva que represente la tendencia general de los datos sin necesidad de tocar los puntos individuales)

Interpolación. Se utiliza cuando el objetivo es determinar valores intermedios entre datos que estén relativamente libres de error.

5.                  Integración, relacionada con el cálculo del área bajo la curva.  Sus aplicaciones están en la determinación de centroides de objetos de formas extrañas, hasta el cálculo de cantidades totales basadas en conjuntos de medidas discretas.

6.                  Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Resuelve problemas de las leyes físicas expresadas en términos de la razón de cambio de una cantidad más que en términos de la cantidad misma. (ejm. La velocidad, la aceleración, etc.). Se tratan dos tipos de problemas: problemas con valor inicial y problemas con valores en la frontera.

7.                  Resolver ecuaciones diferenciales parciales. Utilizados para representar sistemas en los que el comportamiento de una cantidad física  se expresa en términos de su razón de cambio con respecto a dos o más variable independientes. Ej. La distribución de temperatura en estado estacionario sobre una placa caliente  (espacio bidimensional) o la temperatura variable con el tiempo en una barra caliente (tiempo y una dimensión espacial)

CONCEPTOS BÁSICOS
El análisis numérico.- es la rama de la matemática que se encarga de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real.

Algoritmo.- En el contexto del cálculo numérico, es un procedimiento que nos puede llevar a una solución aproximada de un problema mediante un número finito de pasos que pueden ejecutarse de manera lógica. En algunos casos, se les da el nombre de métodos constructivos a estos algoritmos numéricos.(del latín, dixit algorithmus y éste a su vez del matemático persa al-Jwarizmi) es una lista bien definida, ordenada y finita de operaciones que permite hallar la solución a un problema. Dado un estado inicial y una entrada, a través de pasos sucesivos y bien definidos se llega a un estado final, obteniendo una solución

La exactitud.- se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido del valor verdadero.

 La precisión.- se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o calculado respecto a los otros.

Error.- Es la relación entre el número exacto  y el obtenido por aproximación se define como:

            Error = Valor real -valor estimado

Análisis de errores

Al realizar cálculos mediante algoritmos más o menos complejos, es inevitable cometer errores. Estos errores pueden ser de tres tipos:

·         Errores en los datos de entrada: Este tipo de error viene causado por los errores al realizar mediciones de magnitudes físicas. Este error no es analizable matemáticamente dado a que está sujeto al avance tecnológico de los aparatos de medida

·         Errores de redondeo:En este caso, el error aparece al operar con representaciones numéricas finitas. Se puede solucionar utilizando más decimales, pero esto conlleva utilizar más memoria (recursos).

En una computadora existe una longitud de palabra que puede representar y sólo puede representar un número finito de términos. Para expresar una cantidad con un desarrollo decimal infinito, se tiene que prescindir de la mayoría de ellos. Por ejemplo, el número π = 3.14159265...., tiene un desarrollo decimal infinito no periódico.
Para el redondeo la regla es aproximar al valor superior si el siguiente dígito es mayor o igual a 5
Ej. redondear   π = 3.14159265... a la centésima: 3.14  y a la milésima: 3.142

·         Errores de truncamiento (o discretización): Este tipo de error se refiere al error que se comete al utilizar un algoritmo determinado. Esto quiere decir que si se refina la discretización o se cambia el algoritmo, puede disminuir. Refinar la discretización generalmente lleva a realizar más cuentas lo que equivale a incrementar el error de redondeo y el tiempo de cálculo.

Se originan al emplear al número finito de términos para calcular un valor que requiere un número infinito de términos. Por ejemplo, una expresión que permite determinar de forma exacta el valor del número de Euler (base de los logaritmos naturales) a través de una serie de MacLaurin es con infinitos términos, sin embargo, una aproximación a dicho valor, puede obtenerse a través de su expresión finita considerando solo k términos, la cual es manejable computacionalmente.

Truncar es cortar y si truncamos π = 3.14159265...  a la centésima: 3.14 y a la milésima: 3.141

SOLUCION NUMÉRICA DE ECUACIONES

Introducción

En el campo industrial, la ingeniería elabora modelos matemáticos que representan el comportamiento de los sistemas, que en muchos casos son demasiado complejos, y son  de imperiosa necesidad resolverlos. El problema que generalmente se presenta es la dificultad para resolverlos en los cuales los métodos analíticos no son factibles de aplicar, es por ello que los métodos numéricos dan una vía de solución rápida, con la ayuda del computador y efectiva.

Uno de los casos que generalmente se presentan son las ecuaciones cuyos modelos son de orden superior como por ejemplo:

Considere el problema de determinar el tiempo en que un carril llegará a la posición inicial en un proceso productivo cuya dependencia con el tiempo es : F(t) = ln(t) - t + 2

Por el aprendizaje logrado a lo largo de nuestra clásica formación académica sabemos resolver ecuaciones por método analítico pero considerando que es difícil resolver el modelo con esta técnica, podrá utilizase como alternativa de solución los métodos numéricos.

METODO DE BISECCION

Uno de los métodos que se puede utilizar para resolver el modelo es el método de bisección, cuya ventaja es la posibilidad de obtener un resultado eficiente y confiable que permite tomar decisiones.

Para desarrollar el método numérico de Bisección basta con conocer  el manejo algebraico de variables, las operaciones básicas de la aritmética y el manejo de computador.

 Fundamento teórico

El método de bisección se basa en el siguiente teorema de Cálculo: 

Teorema del Valor Intermedio

Sea f(x)  contínua en un intervalo [a,b] y supongamos que f(a)<f(b). Entonces para cada z tal que f(a) < z < f(b), existe  un Xo Є (a,b) tal que f(Xo)=z. La misma conclusión se obtiene para el caso que f(a)>f(b). 

Básicamente el Teorema del Valor Intermedio nos dice que toda función contínua en un intervalo cerrado, una vez que alcanzó ciertos valores en los extremos del intervalo, entonces debe alcanzar todos los valores intermedios.

En particular, si  f(a) y f(b) tienen signos opuestos, entonces un valor intermedio es precisamente z=0  y  por lo tanto, el Teorema del Valor Intermedio nos asegura que debe existir  Xo Є (a,b) tal que f(Xo)=z , es decir, debe haber por lo menos una raíz de f(x) en el intervalo (a,b).

Método

Este método consiste en dividir sucesivamente el intervalo [a, b], por la mitad, hasta que la longitud del subintervalo que contiene a la raíz α sea menor que alguna tolerancia especificada ε.

 Dada una función f(x)

1. Elegir dos valores iniciales, inferior (Xi) y superior (Xi+1) que encierren la raíz, de forma tal que la función cambie de signo en intervalo, lo cual se verifica si f(Xi).f(Xi+1)<0
2. Determine una aproximación de la raíz  de x mediante Xr = (Xi + Xi+1)/2
3. Evalúe el intervalo en el cual está la raíz calculada:
1. Si f(Xi).f(Xr)<0         è        Xi+1 = Xr
2. Si f(Xi).f(Xr)>0                     è        Xi=Xr
3. Si f(Xi).f(Xr)=0                     è        X=Xi, solución, fin

Evalúe el Error Absoluto para determinar si es menor que la tolerancia y dar por terminadas las iteraciones

 Algoritmo de Bisección:

Entradas: Una función continua F(x) definida en un intervalo [Xo, X1], con  F(Xo) y F(X1)  de signos opuestos.

Parámetros:

E = Nivel de precisión respecto a la solución exacta.

Inicio

1. Ingrese F(x) y  E
2. Verifique que  F(X_o).F(X₁) < 0

          De lo contrario vuelva a ingresar nuevos valores de Xo, X1

3. Defina i=0
4. Calcule Xr = (X_i + X_i+1)/2
5. Verifique       si f(X_i).f(Xr)<0             entonces X_i = Xr

                        De lo contrario         X_i+1 = Xr

6. Verifique       si |X_i+1 – X_i |< E entonces  solución X = Xr

                        De lo contrario  incremente el valor de i en 1y regrese al paso 4
Fin.

Ejemplo

Determine la solución por el método de bisección para la siguiente ecuación:

 F(x) = lnx + x + 2 = 0 Considere la búsqueda en el intervalo 2-4 con una tolerancia de 10^-3

Programa en Matlab

clear

x0=2, x1=4, E=9999, n=0, xrc=0
while E>=0.001
   xr=(x0+x1)/2
   fx0 = log(x0) - x0 + 2;
   fx1 = log(x1) - x1 + 2;
   fxr = log(xr) - xr + 2;
if fx0*fxr < 0
         x1=xr
      else x0 = xr
end
E=abs(xr-xrc)
xrc=xr
            n=n+1; 
end
fprintf('E n xr = %7.7f\n', E, n , xr)

Aplicación en Excel

		lnx-x+2=0		TOLERANCIA 0.001
	METODO DE BISECCION				Xr=(Xi+Xi+1)/2
n	Xi F(Xi)		Xi+1	F(Xi+1)	Xr	F(Xr)	F(X1)F(Xr)	EA	¿SOLUCION?
1	2.000000	0.693147	4.000000	-0.613706	3.000000	0.098612	0.068353
2	3.000000	0.098612	4.000000	-0.613706	3.500000	-0.247237	-0.024381	0.500000	NO
3	3.000000	0.098612	3.500000	-0.247237	3.250000	-0.071345	-0.007035	0.250000	NO
4	3.000000	0.098612	3.250000	-0.071345	3.125000	0.014434	0.001423	0.125000	NO
5	3.125000	0.014434	3.250000	-0.071345	3.187500	-0.028263	-0.000408	0.062500	NO
6	3.125000	0.014434	3.187500	-0.028263	3.156250	-0.006865	-0.000099	0.031250	NO
7	3.125000	0.014434	3.156250	-0.006865	3.140625	0.003797	0.000055	0.015625	NO
8	3.140625	0.003797	3.156250	-0.006865	3.148438	-0.001531	-0.000006	0.007813	NO
9	3.140625	0.003797	3.148438	-0.001531	3.144531	0.001134	0.000004	0.003906	NO
10	3.144531	0.001134	3.148438	-0.001531	3.146484	-0.000199	0.000000	0.001953	NO
11	3.144531	0.001134	3.146484	-0.000199	3.145508	0.000468	0.000001	0.000977	SI

 Ventajas:

-        Siempre converge.
-        Útil como aproximación inicial de otros métodos.

Desventajas:

-        No tiene en cuenta la magnitud de los valores de la función en las aproximaciones calculadas x_n, solo tiene en cuenta el signo de f(x), lo que hace que una aproximación intermedia, mejor que la respuesta final, pase desapercibida.
-        La convergencia es lenta.

METODO REGULA FALSI (FALSA POSICION)

El procedimiento es similar al método de bisección con la diferencia en el cálculo de Xr para lo cual se utilizará la siguiente relación:

				Xr= [X1.F(X2)-X2.F(X1)] / [F(X2)-F(X1)]
n	X1	F(X1)	X2	F(X2)	Xr	F(Xr)	F(X1)F(Xr)	EA	¿SOLUCION?
1	2.000000	0.693147	4.000000	-0.613706	3.060788	0.057884	0.040122
2	3.060788	0.057884	4.000000	-0.613706	3.530394	-0.268985	-0.015570	0.469606	NO
3	3.060788	0.057884	3.530394	-0.268985	3.295591	-0.103006	-0.005962	0.234803	NO
4	3.060788	0.057884	3.295591	-0.103006	3.178190	-0.021878	-0.001266	0.117401	NO
5	3.060788	0.057884	3.178190	-0.021878	3.119489	0.018180	0.001052	0.058701	NO
6	3.119489	0.018180	3.178190	-0.021878	3.148840	-0.001806	-0.000033	0.029350	NO
7	3.119489	0.018180	3.148840	-0.001806	3.134164	0.008198	0.000149	0.014675	NO
8	3.134164	0.008198	3.148840	-0.001806	3.141502	0.003199	0.000026	0.007338	NO
9	3.141502	0.003199	3.148840	-0.001806	3.145171	0.000697	0.000002	0.003669	NO
10	3.145171	0.000697	3.148840	-0.001806	3.147005	-0.000554	0.000000	0.001834	NO
11	3.145171	0.000697	3.147005	-0.000554	3.146088	0.000072	0.000000	0.000917	SI

METODO DE NEWTON-RAPHSON

Se basa en el trazo de rectas tangentes representadas por la derivadas para determinar el siguiente punto.

Se utiliza la función recursiva siguiente:           X_i+1=X_i-f(X_i))/(f ´(X_i)

Agoritmo

1-      Dada f(x)=0 elegir un cvalor inicial Xi  cercana  a la raíz (i=0)

2-      Determine f(Xi) y f´(Xi)

3-      Calcule      X_{i+1 =} X_i  - f(X_i) / f’(X_i  )

4-      Incremente i=i+1 y regrese al punto 2

 

METODO DE NEWTON-RAPHSON
n	Xi	F(Xi)	F´(Xi)	Xi+1	EA	¿SOLUCION?
1	2.000000	0.693147	-0.500000	3.386294
2	3.386294	-0.166558	-0.704692	3.149938	0.236356	NO
3	3.149938	-0.002555	-0.682533	3.146194	0.003744	NO
4	3.146194	-0.000001	-0.682156	3.146193	0.000001	SI

Inconvenientes :

         - En los puntos críticos, f’(x) = 0

-       En los puntos de inflexión

-       Generalmente se presenta cuando se tiene funciones con raíces reales repetidas ej. F(x)=x⁷

METODO DE LA SECANTE

 Algoritmo

1-      Dada f(x)=0  identifique dos puntos iniciales  X_i-1 , X_i        

2-      Determine f(X_i) y f´(X_i-1)

3-      Calcule     X_{i+1 =} X_i  - (X_i – X_i-1). f(X_i) / [ f(X_i  )- f(X_i-1)]

4-      Incremente i=i+1 y regrese al punto 2

 

METODO DE LA SECANTE
i	Xi-1	Xi	F(Xi-1)	F(Xi)		Xi+1		EA		¿SOLUCION?
0	3.0000000	4.0000000	0.0986123	-0.6137056		3.1384386
1	4.0000000	3.1384386	-0.6137056	0.0052868		3.1457972		0.0073586		NO
2	3.1384386	3.1457972	0.0052868	0.0002701		3.1461934		0.0003963		SI
3	3.1457972	3.1461934	0.0002701	-0.0000002		3.1461932		0.0000002		SI

 MÉTODO DE PUNTO FIJO O APROXIMACIONES SUCESIVAS

 Algoritmo:

1-      Dado f(x) = 0, conviértala en la forma X = g(X)

2-      Identifique  un punto de inicio Xo

3-      Verifique la convergencia: si  | f’(X₀) | < 1 è converge

4-      Asuma i=1

5-      Calcule Xi = g(Xo)

6-      Calcule Xi+1 = g(Xi)

7-      Evalúe  si | ( x _i+1 - x _i ) / x _i+1 | < Tolerancia è Solución X_i+1 es la Raíz

De lo contrario i = i+1, retorne al paso 6

SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES

MÉTODO DE JACOBI

Dado el sistema de ecuaciones lineales

            a₁₁X₁+ a₁₂ X₂+ … + a _1nX_n= b₁

             a₂₁X₁+ a₂₂ X₂+ … + a _2nX_n= b₂
            …
             a_n1X₁+ a_n2 X₂+ … + a _nnX_n= b_n

 Despejar en cada ecuación  la variable Xj de la ecuación i donde i=j

            X₁ =( b₁ - a₁₂ X₂ -… - a _1nX_n)/ a₁₁

            X₂ =( b₂ – a₂₁ X₁ -… - a _2nX_n)/ a₂₂
             ...

             X_n =( b_n – a_n2 X₂ -… - a _n,n-1X_n)/ a_nn

Plantear  las ecuaciones recursivas:

X₁⁽ⁱ⁺¹⁾ =( b₁ - a₁₂ X₂⁽ⁱ⁾ -… - a _1nX_n⁽ⁱ⁾)/ a₁₁

            X₂⁽ⁱ⁺¹⁾ =( b₂ – a₂₁ X₁⁽ⁱ⁾ -… - a _2nX_n⁽ⁱ⁾)/ a₂₂

            …

X_n⁽ⁱ⁺¹⁾ =( b_n – a_n1 X₁⁽ⁱ⁾ -… - a _n,n-1X_n-1⁽ⁱ⁾)/ a_nn

Ejemplo considere el sistema de ecuaciones siguiente:

10 X₁ + 2X₂ + X₃ = 9

2 X₁ + 20X₂ - 2 X₃ = -44

 -2X₁ + 3X₂ + 10X₃ = 22

		METODO DE JACOBI
		X1	X2	X3	Bi		Tolerancia=	0.001
		10	2	1	9
		2	20	-2	-44
		-2	3	10	22
i	X(i)	0	0	0	EAX1	EAX2	EAX3	SOLUCION
1	X(1)	0.9	-2.2	2.2	0.9	2.2	2.2	NO
2	X(2)	1.12	-2.07	3.04	0.22	0.13	0.84	NO
3	X(3)	1.01	-2.008	3.045	0.11	0.062	0.005	NO
4	X(4)	0.9971	-1.9965	3.0044	0.0129	0.0115	0.0406	NO
5	X(5)	0.99886	-1.99927	2.99837	0.0018	0.0028	0.006	NO
6	X(6)	1.000017	-2.000049	2.999553	0.0012	0.0008	0.0012	NO
7	X(7)	1.0000545	-2.0000464	3.0000181	4E-05	3E-06	0.0005	SI

 METODO DE GAUSS-SEIDEL

 Dado el sistema de ecuaciones lineales

a₁₁X₁+ a₁₂ X₂+ … + a _1nX_n= b₁

a₂₁X₁+ a₂₂ X₂+ … + a _2nX_n= b₂

            …

a_n1X₁+ a_n2 X₂+ … + a _nnX_n= b_n

Despejar en cada ecuación  la variable Xj de la ecuación i donde i=j

X₁ =( b₁ - a₁₂ X₂ -… - a _1nX_n)/ a₁₁

X₂ =( b₂ – a₂₁ X₁ -… - a _2nX_n)/ a₂₂

                   ...

                 X_n =( b_n – a_n2 X₂ -… - a _n,n-1X_n)/ a_nn

Plantear  las ecuaciones recursivas utilizando los valores calculados más recientes:

            X₁⁽ⁱ⁺¹⁾ =( b₁ - a₁₂ X₂⁽ⁱ⁾ -  a₁₃ X₃⁽ⁱ⁾      … - a _1nX_n⁽ⁱ⁾)/ a₁₁

            X₂⁽ⁱ⁺¹⁾ =( b₂ – a₂₁ X₁⁽ⁱ⁺¹⁾ – a₂₃ X₃⁽ⁱ⁾ … - a _2nX_n⁽ⁱ⁾)/ a₂₂

            …

X_n⁽ⁱ⁺¹⁾ =( b_n – a_n1 X₁⁽ⁱ⁺¹⁾ – a_n2 X₂⁽ⁱ⁺¹⁾ … - a _n,n-1X_n-1⁽ⁱ⁾)/ a_nn

	SOLUCION SISTEMA DE ECUACIONES				Tolerancia	0.001
	METODO DE GAUSS - SEIDEL
		X1	X2	X3	Bi
		10	2	1	9
		2	20	-2	-44
		-2	3	10	22
i	X(i)	0	0	0	EAX1	EAX2	EAX3	SOLUCION
1	X(1)	0.9	-2.29	3.067	0.900	2.290	3.067	NO
2	X(2)	1.0513	-1.99843	3.009789	0.151	0.292	0.057	NO
3	X(3)	0.9987071	-1.99889181	2.99940896	0.053	0.000	0.010	NO
4	X(4)	0.99983747	-2.00004285	2.99998035	0.001	0.001	0.001	NO
5	X(5)	1.00001054	-2.00000302	3.00000301	0.000	0.000	0.000	SI